清华新闻网5月28日电 非正截面曲率且体积有限的完备非紧流形的几何与拓扑是一个活跃的研究课题。上世纪七八十年代，帕特里克·埃伯莱因（Patrick Eberlein）、米哈伊尔·格罗莫夫（Mikhael Gromov,1993年沃尔夫奖得主）以及格雷戈里·马古利斯（Gregory Margulis,1978年菲尔兹奖、2005年沃尔夫奖得主）等著名数学家在这一领域取得了一系列重要研究成果。比如，由他们的工作可以得知，对于一个体积有限的完备非紧黎曼流形，如果曲率介于2个负常数之间，那么它只有有限个末端（end），并且每个末端的基本群都是多项式增长群。

埃伯莱因研究了一类更一般的流形，在一篇1980年发表于《数学年刊》（Annals of Mathematics）的论文中，他证明了，若体积有限的完备非紧黎曼流形的曲率非正且有界，如果它的万有覆叠空间是可视流形（visibility manifold），那么它只有有限个末端。类比于曲率为负的情形。近40年以来，数学家们猜测，埃伯莱因研究的此类非紧流形末端的基本群也是多项式增长群。这个猜想的本质难点在于怎么控制抛物等距在无穷远处的渐近行为。

5月27日，清华大学丘成桐数学科学中心/数学科学系教授吴云辉和首都师范大学交叉科学研究院博士后研究员季然合作的论文“非正曲率且有限体积的非紧流形的末端研究”（On ends of finite-volume noncompact manifolds of nonpositive curvature）在线发表于《数学新进展》（Inventiones Mathematicae）。在这篇论文中，吴云辉和合作者克服了一系列困难，解决了上述猜想。

吴云辉和合作者首先受到数学家安德斯·卡尔松（Anders Karlsson）和马古利斯于1999年在遍历论领域相关工作的启发，从而证明了此类流形末端的基本群是次指数增长的；又借助CAT（0）几何的工具成功地控制了抛物等距的渐近行为；最后，他们提出了无穷远处版本的Margulis引理，并利用它完全解决了这一公开长达近40年的猜想。该工作是近期非正曲率流形几何与拓扑课题的一个突破性进展。

论文链接：

https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-024-01266-0

供稿：数学中心

编辑：李华山

审核：郭玲